Análisis de un Condensador Cúbico. (Spanish)

Por: Michael Caserta E.
Ingeniero Electrónico
Pontificia Universidad Javeriana

-Abstract -

This project is done to calculate the capacitance of a system in which the geometry involves two conductive plates that are concentric cubes with parallel sides, measuring L and L/2 respectively. It´s resolved with Laplace's Equation in free space using the Relaxation Method. The resolution of the system has minimum 4000 points including frontier ones; with a two percent (2%) precision the error is calculated as the maximum fractional rate in the potential in any point of the net between "n-1" and the "n" iteration (n being the last iteration). The main resource for resolving the equation as a numerical serie was the software Matlab through several iterations which will be explained in detail further ahead.

Geometria del Condensador

El condensador utilizado contiene lados de longitud de veinte (L=20) y obviamente L/2=10 (Ver figura1). Para que el cubo interno quede concentrico se escoge que sea desde 6 hasta 16 en la
escala debida.

Red de Puntos Utilizada

La cantidad de puntos totales dentro del cubo exterior es igual a 19*19*19 (puntos interiores sin incluir la frontera) menos 1000 yá que se le resta el numero de puntos del cubo interior el cual es de mil (10*10*10), esto nos da: 5859 puntos. Una matriz de 3 dimensiones contiene los
puntos del potencial, y una matriz en 2 dimensiones contiene los puntos del campo electrico.

Descripcion

El programa fue realizado por medio de un analisis de matrices tridimensionales para los
puntos del potencial, estas matrices se trabajan desde 1 por que Matlab trabaja los vectores desde 1. Inicialmente se dan las constantes tal como el error del 2% (0.02) y las variables como numero de iteraciones y puntos se inicializan. En el cubo exterior suponemos un voltaje de 100 voltios y en el cubo interior suponemos un voltaje de 5 voltios. Seguidamente asignamos el valor de 100 a la caras del cubo exterior y cero(0) al resto de la matriz por medio de tres "for" anidados (para cubrir el volumen total), es decir unicamente en los valores de 1 y 21 de cada cara se asigna el valor mencionado. Inmediatamente despues se completa el cubo interior de la misma manera entre 6 y 16 pero con el valor 5V. Aqui se comienza a resolver por medio del metodo de relajación, la ecuacion de Laplace hasta obtener un error menor del 2%, por medio de iteraciones sucesivas de esta serie, utilizando ciclos "for" hasta 20 en cada coordenada sin incluir el cubo interno. El error se calcula con el máximo cambio fraccional en el potencial en cada punto entre la iteracion n-1 y n, siendo n la ultima iteracion. Al finalizar estos ciclos obtenemos un valor de potencial con un porcentaje menor al 2% de error. Se calcula el campo en la cara superior del cubo interior de 6 a 16, con dos ciclos "for" para crear una matriz de dos dimensiones, restando los potenciales en cada punto sobre un delta de z.

E=lim


Despues se realiza la suma de los campos electricos en la cara superior del cubo pequeño z=16, es decir ΣE. Ahora según la formula Q= ρs.S donde ρs=Q/S entonces ρs= εo ΣE y tenemos Q=S εoΣE. donde S =100 (area cara cubo interior) y εo es conocido. Para la carga total este valor Q
debe multiplicarse por 6; y una vez hallado esto, se encuentra facilmente la capacitancia
como C=Q/V donde V es 100v - 5v = 95v.

La siguiente etapa del programa es la graficación de los contornos en cada una de las areas de interés como son el plano paralelo central, tangente al cubo interior y mitad de camino.
El lenguaje de programación utilizado fue Matlab el cual incluye gráficas yfunciones para resolver iteraciones y otros.

Programa: Source Code - Copyrighted


%Valores tomados:
%L=20 , L/2=10
%En el cubo exterior suponemos un voltaje de 100 voltios
%En el cubo interior suponemos un voltaje de 5 voltios
%Se trabaja desde la matriz desde 1 porque matlab trabaja los vectores desde 1
%se trabaja con una distancia entre puntos de 1 para sacar la componenete normal
%del campo electrico.
f=16;
sig=1;
puntos=0;
p=1;
itera=0;
error=0.02;
%Asigna 100 voltios a las caras del cubo exterior,
%y asigna 0 voltios a las caras del cubo interior.
for i=1:21,
for j=1:21,
for k=1:21,
if(i==1 i==21 j==1 j==21 k==1 k==21)
v(i,j,k)=100;
else
v(i,j,k)=0;
end
end
end
end
%Luego asignamos 5 voltios a la caras del cubo interior
%incluyendo los puntos interiores a este.
for i=6:16,
for j=6:16,
for k=6:16,
v(i,j,k)=5;
end
end
end
%Aplicacion del metodo de Relajacion.
while p >= error,
for i=2:20,
for j=2:20,
for k=2:20,
if(v(i,j,k)~=5)
temp(i,j,k)=v(i,j,k);
v(i,j,k)=(v(i-sig,j,k)+v(i+sig,j,k)+v(i,jsig, k)+...
v(i,j+sig,k)+v(i,j,k-sig)+v(i,j,k+sig))/6;
p = abs(v(i,j,k)-temp(i,j,k))/v(i,j,k);
%Maximo cambio fraccional entre la penultima y ultima iteracion.
itera=itera+1; %contador para el numero de iteraciones
end
end
end
end
end
puntos=(19*19*19)-1000; %se le resta el numero de puntos del cubo interior
for m=6:16, %Calculo del campo en la cara del cubo interior z=16
for n=6:16, %No se divide entre un delta de z por que el delta de z es igual a 1.
e(m-5,n-5)=abs(v(m,n,f)-v(m,n,f+1)); %Campo electrico
end
end
%Suma de los campos en la cara superior del cubo pequeño z=16
suma=0;
for b=1:11,
for s=1:11,
suma=suma +e(b,s);
end
end
c=0;
carga=0;
cargatotal=0;
%Permitividad
ep=0.008841941282883;
%Area de una de las caras del cubo interior
a=10*10;
%Hallamos la carga para una sola cara del cubo interior
carga=a*ep*suma;
%Multiplicando por 6 se obtiene la carga total del cubo pequeño.
cargatotal=6*carga;
%luego la capacitancia seria:
c=(cargatotal/(100-5));
v %Matriz en 3D que contiene los puntos del potencial
e %Matriz en 2D que contiene los puntos del campo electrco
c %Capacitancia del sistema
cargatotal %Carga total del cubo interior
a %area de una cara del cubo interior
p %error relativo
puntos %Numero de puntos
itera %Numero de iteraciones
figura=v(:,:,11); % Variable que almacena la matriz
figure(1) % Funcion propia de Matlab utilizada para crear una figura
contour(figura); % Funcion que genera el diagrama de contorno central
title('Grafico de contorno central para Z =11, POTENCIAL VS XY'); %Coloca el titulo a las graficas
set(gca,'Fontsize',[8]), % Funcion que fija el tamaño de la letra
colorbar % Funcion que da el codigo de colores de la barra
zlabel('Voltios') % Funcion que fija el nombre al eje coordenada correspondiente
xlabel('X');
ylabel('Y');
figura1=v(:,:,3); % Variable que almacena la matriz
figure(2) % Funcion propia de Matlab utilizada para crear una figura
contour(figura1); % Función que genera el diagrama de contorno entre los dos cubos
title('Grafico de contorno para Z = 3, POTENCIAL VS XY'); %Coloca el titulo a las graficas
set(gca,'Fontsize',[8]), % Funcion que fija el tamaño de la letra
colorbar % Funcion que da el codigo de colores de la barra
zlabel('Voltios') % Funcion que fija el nombre al eje coordenada correspondiente
xlabel('X');
ylabel('Y');
figura2=v(:,:,16);% Variable que almacena la matriz
figure(3) % Funcion propia de Matlab utilizada para crear una figura
contour(figura2); % Funciion que genera el diagrama de contorno tangente al cubo interior
title('Grafico de contorno para Z = 16, POTENCIAL VS XY'); %Coloca el titulo a las graficas
set(gca,'Fontsize',[8]), % Funcion que fija el tamaño de la letra
colorbar % Funcion que da el codigo de colores de la barra
zlabel('Voltios') % Funcion que fija el nombre al eje coordenada correspondiente
xlabel('X');
ylabel('Y');
*************
Cálculo Capacitancia

La capacitancia fue calculada como C=Q/V donde V es 100v - 5v = 95v.

Q se halla como Q = 6(Area Σρs), Q=6(100 εo ΣE), Q=6(100 εo92.3123) . El valor preciso de la carga total es de 489.7322 entonces C = 489.7322 / 95; dando como resultado: C=5.1551

En funcion de εo y L


tenemos que esto da:

El error relativo fue de:
Er = 0.0145, es decir del 1.45%

El numero de iteraciones fue de: itera= 27640

Resultados y Conclusiones

• Los resultados se acomodan a las expectativas generadas, en el calculo de la carga y asi mismo de la capacitancia del sistema.
• La mejor forma de realizar este tipo de calculos con figuras de tres dimensiones son las matrices tambien en tres variables.
• Deben tenerse muy en cuenta las fronteras para el calculo de campos y potenciales y asi mismo aprovechar la simetria para facilitar calculos.
• Se necesitan bastante numeros de iteraciones para llegar a errores tan bajos como del 2% que se requeria.
• Herramientas como Matlab, prestan una ayuda poderosa para la resolucion de este tipo de analisis matriciales.
• Debe seguirse en este caso la cadena: potencial – Campo – carga – Capacitancia, para llegar al resultado.